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EXÁMENES PAUMIICOMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADPROVES D’ACCÉS A LA…
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EXÁMENES PAUMIICOMISSIÓ GESTORA DE LES PROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITAT COMISIÓN GESTORA DE LAS PRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDADPROVES D’ACCÉS A LA UNIVERSITATPRUEBAS DE ACCESO A LA UNIVERSIDAD CONVOCATORIA: MODEL EXAMEN PAU 2017CONVOCATÒRIA: MODEL EXAMEN PAU 2017Asignatura: MATEMÁTICAS IIAssignatura: MATEMÀTIQUES II BAREM DE L’EXAMEN:Cal elegir sols UNA de les dues OPCIONS, A o B, i s’han de fer els tres problemes d’aquesta opció. Cada problema puntua fins a 10 punts. La qualificació de l'exercici és la suma de les qualificacions de cada problema dividida entre 3, i aproximada a les centèsimes. Es permet l’ús de calculadores sempre que no siguen gràfiques o programables, i que no puguen realitzar càlcul simbòlic ni emmagatzemar text o fórmules en memòria. S'use o no la calculadora, els resultats analítics, numèrics i gràfics han d'estar sempre degudament justificats.BAREMO DEL EXAMEN: Se elegirá solamente UNA de las dos OPCIONES, A o B, y se han de hacer los tres problemas de esa opción. Cada problema se puntuará hasta 10 puntos. La calificación del ejercicio será la suma de las calificaciones de cada problema dividida entre 3 y aproximada a las centésimas. Se permite el uso de calculadoras siempre que no sean gráficas o programables, y que no puedan realizar cálculo simbólico ni almacenar texto o fórmulas en memoria. Se utilice o no la calculadora, los resultados analíticos, numéricos y gráficos deberán estar siempre debidamente justificados.OPCIÓ A − z = a a x  Problema A.1. Es dóna el sistema d'equacions  2 x + a y + z = 1 , on a és un paràmetre real. 2 x + z = 2  Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat:a) Els valors del paràmetre a per als quals el sistema és incompatible. b) Totes les solucions del sistema quan aquest siga compatible indeterminat. c) La solució del sistema quan a = −1. x Problema A.2. Es donen les rectes r :  3 x−2y+z+ 3 = 0+y−z+ 1 = 0ix  s : y z (4 punts) (3 punts) (3 punts) =1= 2α . = α −2Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat: a) La recta paral·lela a r que passa pel punt (0,1, 0) . b) El pla π que conté la recta r i és paral·lel a s . c) La distància entre les rectes r i s .(3 punts) (3 punts) (4 punts)1 . x − 5x + 6 Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat: a) Domini i asímptotes de la funció f. b) Intervals de creixement i de decreixement de la funció f. c) La integral ∫ f ( x) dx .(2 punts) (3 punts) (3 punts)Problema A.3. Es dóna la funció f definida per f ( x ) =2d) El valor a > 4 per al qual l'àrea de la superfície limitada per la corba y = f (x) i les rectes y = 0, x = 4 i x = a és ln (3 / 2) .1(2 punts)OPCIÓ B  5 0 0    Problema B.1. Es dóna la matriu A =  0 1 − 2  .    0 2 1  Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat: a) La comprovació que A−1 = 5−1 At , sent At la matriu transposada de . b) Els valors del paràmetre real λ per als quals A − λ I no és invertible, sent la matriu identitat d'ordre 3. c) El determinant d'una matriu quadrada el determinant de la qual és major que 0 i verifica l'equació B −1 = B t .(4 punts) (3 punts) (3 punts)Problema B.2 Es dóna el pla π : 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 i els punts A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) i C (0, 0, 3) . Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat: a) L’equació implícita del pla σ que passa pels punts A, B i C , (2 punts) i la posició relativa dels plans σ i π . (2 punts) b) L'àrea del triangle de vèrtexs A, B i C . (3 punts) c) Un punt P del pla i el volum del tetraedre els vèrtexs del qual són P, A, B i C. (3 punts)Problema B.3. Cada dia, una planta productora d'acer ven x tones d'acer de qualitat baixa i y tones d'acer de 23 23 − 5 x qualitat alta. Per restriccions del sistema de producció, ha de succeir que y = , en què 0 < x < . 5 10 − x El preu d'una tona d'acer de qualitat alta és de 900 euros, i el preu d'una tona d'acer de qualitat baixa és de 300 euros. Obteniu raonadament, escrivint tots els passos del raonament utilitzat: a) Els ingressos obtinguts en un dia en funció de x . (3 punts) b) Quantes tones de cada tipus d'acer s'han de vendre en un dia perquè els ingressos obtinguts aquest dia siguen màxims. (5 punts) c) L'ingrés màxim que es pot obtenir per les vendes d'acer en un dia. (2 punts)2OPCIÓN A a x  Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones  2 x + 2 x ay−z= a+z= 1 , donde a es un parámetro real.+z=2Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es incompatible. b) Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. c) La solución del sistema cuando a = −1.x Problema A.2. Se dan las rectas r :  3 x−2y+z+ 3 = 0+y−z+ 1 = 0yx  s : y z (4 puntos) (3 puntos) (3 puntos)= 1 = 2α . = α −2Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La recta paralela a r que pasa por el punto (0,1, 0) . b) El plano π que contiene a la recta r y es paralelo a s . c) La distancia entre las rectas r y s .(3 puntos) (3 puntos) (4 puntos)1 . x − 5x + 6 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Dominio y asíntotas de la función f. b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. c) La integral ∫ f ( x) dx .(2 puntos) (3 puntos) (3 puntos)Problema A.3. Se da la función f definida por f ( x ) =2d) El valor de a > 4 para el que el área de la superficie limitada por la curva y = f (x) y las rectas y = 0, x = 4 y x = a es ln (3 / 2) .3(2 puntos)OPCIÓN B  5 0 0    Problema B.1. Se da la matriz A =  0 1 − 2  .    0 2 1  Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La comprobación de que A−1 = 5−1 At , siendo At la matriz traspuesta de A b) Los valores del parámetro real λ para los cuales A − λ I no es invertible, siendo la matriz identidad de orden 3. c) El determinante de una matriz cuadrada cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación B −1 = B t .(4 puntos) (3 puntos) (3 puntos)Problema B.2. Se da el plano π : 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 y los puntos A(1, 0, 0), B(0, 2, 0) y C (0, 0, 3) . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación implícita del plano σ que pasa por los puntos A, B y C , (2 puntos) y la posición relativa de los planos σ y π . (2 puntos) b) El área del triángulo de vértices A, B y C . (3 puntos) c) Un punto P del plano y el volumen del tetraedro cuyos vértices son P, A, B y C . (3 puntos)Problema B.3. Cada día, una planta productora de acero vende x toneladas de acero de baja calidad e y toneladas de acero de alta calidad. Por restricciones del sistema de producción debe suceder que y =23 − 5 x , 10 − x23 . 5 El precio de una tonelada de acero de alta calidad es de 900 euros y el precio de una tonelada de acero de baja calidad es de 300 euros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los ingresos obtenidos en un día en función de x . (3 puntos) b) Cuántas toneladas de cada tipo de acero se deben vender en un día para que los ingresos obtenidos ese día sean máximos. (5 puntos) d) El ingreso máximo que se puede obtener por las ventas de acero en un día. (2 puntos) siendo 0 < x <4Julio17 OPCIÓN A Problema A.1. Sean y dos matrices cuadradas de orden 3 tales que A 2 = − A − I y 2 B 3 = B , siendo 0 0 1   I = 0 1 0  la matriz identidad. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del 0 0 1   razonamiento utilizado: a) La justificación de que la matriz A es invertible (2 puntos) 3 (2 puntos) y el cálculo de la matriz A en función de y de . b) Los valores posibles del determinante de B. (3 puntos) 2 c) El valor del determinante de la matriz B , sabiendo que la matriz B tiene inversa. (3 puntos) x − 2 y − 2z = 1 Problema A.2. Se dan la recta r :  y el plano π : 2 x + y + mz = n. x + 3 y − z = 1 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π se cortan en un punto. b) Los valores de m y n para los que la recta r y el plano π no se cortan. c) Los valores de m y n para los que la recta r está contenida en el plano π .(3 puntos) (3,5 puntos) (3,5 puntos)Problema A.3. Se consideran las curvas y = x 3 , y = ax y la función f ( x) = x 3 − ax, siendo a un parámetro real y a > 0. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los puntos de corte de la curva y = f (x) con los ejes de coordenadas y los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. (1+2 puntos) b) La gráfica de la función f cuando a = 9. (3 puntos) c) Calcular, en función del parámetro a, el área de la región acotada del primer cuadrante encerrada entre las curvas y = x 3 e y = ax, cuando a > 1. (2 puntos) d) El valor del parámetro a para el que el área obtenida en el apartado c) coincide con el área de la región acotada comprendida entre la curva y = x 3 , el eje OX y las rectas x = 0 y x = 2. (2 puntos)3OPCIÓN B 0 0  0 0 − 1 1     Problema B.1. Se consideran las matrices A =  0 1 0  e I =  0 1 0  . Obtener razonadamente, 1 0 0 0 0 1     escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La justificación de que A tiene matriz inversa y el cálculo de dicha inversa A −1 . (2+2 puntos) 4 (2 puntos) b) La justificación de que A = I . 7 30 100 c) El cálculo de las matrices A , A y A . (4 puntos)x −1 y z −1 = = y el plano π : 2 x − y + bz = 0 , siendo a y b dos 4 a −1 parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El punto de intersección de la recta r y el plano π cuando a = −b = 1. (2,5 puntos) b) La distancia entre la recta r y el plano π cuando a = b = 4. (2,5 puntos) c) La posición relativa de la recta r y del plano π en función de los valores de los parámetros a y b. (5 puntos)Problema B.2. Se dan la recta r :Problema B.3. Se considera el triángulo T de vértices O = (0, 0) , A = ( x, y ) y B = (0, y ), siendo x > 0, y > 0, y tal que la suma de las longitudes de los lados OA y AB es 30 metros. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El área del triángulo T en función de x. (3 puntos) b) El valor de x para el que dicha área es máxima. (5 puntos) c) El valor de dicha área máxima. (2 puntos)4Junio 17OPCIÓN A − x + ay + 2 z = a  Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones  2 x + ay − z = 2 , dependiente del parámetro real a.  ax − y + 2 z = a  Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La solución del sistema cuando a = 2. b) Los valores del parámetro a para los que el sistema es compatible y determinado. c) El valor del parámetro a para el que el sistema es compatible e indeterminado y obtener todas las soluciones del sistema para ese valor de a.(3 puntos) (3 puntos) (2+2 puntos)x + y − z + 1 = 0 Problema A.2. Se dan el punto P = (1, 1, 1) , la recta r :  y el plano x + 2 y − z − 1 = 0 π : x + y + z = 1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, las ecuaciones de: a) El plano que contiene al punto P y a la recta r. (2 puntos) b) La recta s que pasa por el punto P y es perpendicular al plano π , la distancia del punto P al plano π y el punto de intersección de la recta s con el plano π . (2+2+2 puntos) c) El plano σ que contiene a la recta r y es perpendicular al plano π . (2 puntos)Problema A.3. Se desea unir un punto M situado en un lado de una calle, de 6 m. de anchura, con el punto N situado en el otro lado de la calle, 18 m. más abajo, mediante dos cables rectos, uno desde M hasta un punto P, situado al otro lado de la calle, y otro desde el punto P hasta el punto N. Se representó la calle en un sistema cartesiano y resultó que M = (0, 6) , P = (x, 0) y N = (18, 0) . El cable MP tiene que ser más grueso debido a que cruza la calle sin apoyos intermedios, siendo su precio de 10 €/m. El precio del cable PN es de 5 €/m. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El costo total C de los dos cables en función de la abscisa x del punto P, cuando 0 ≤ x ≤ 18. (3 puntos) b) El valor de x, con 0 ≤ x ≤ 18, para el que el costo total C es mínimo. (4 puntos) c) El valor de dicho costo total mínimo. (3 puntos)3OPCIÓN BProblema B.1. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado:  5 − 4 2   a) La comprobación de que C 2 = 2C − I , siendo C =  2 − 1 1  e I la matriz identidad de orden − 4 4 − 1  (2,5 puntos)3× 3, 4y el cálculo de la matriz C .( )()(2,5 puntos)2 −1b) El valor del determinante de la matriz 3 A 4 4 A , sabiendo que A es una matriz cuadrada de cuatro (3 puntos) columnas cuyo determinante vale − 1 . c) La matriz B que admite inversa y que verifica la igualdad BB = B . (2 puntos)Problema B.2. Sea T un tetraedro de vértices O = (0, 0, 0), A = (1, 1, 1), B = (3, 0, 0) Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C, y las ecuaciones de la recta hO perpendicular a π que pasa por O. b) El punto de intersección de la altura hO y el plano π . c) El área de la cara cuyos vértices son los puntos A, B y C, y el volumen del tetraedro T.y C = (0, 3, 0). (1 punto) (2 puntos) (3 puntos) (2 puntos) (2 puntos)x2 + 1 , para cualquier valor real x ≠ 0 , se pide obtener x razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, (2 puntos) y los extremos relativos de la función f. (1 punto) b) Las asíntotas de la curva y = f (x) . (3 puntos)Problema B.3. Dada la función f definida por f ( x ) =x2 + 1 , 1≤ x ≤ e , x el segmento que une los puntos (1, 0) y (e, 0) , y las rectas x = 1 y x = e .c) El área de la región plana limitada por la curva y =4(4 puntos)julio 16OPCIÓN Ay + 2z = 2  x +  Problema A.1. Se da el sistema − 3 x + 2 y + 3 z = − 2, donde α es un parámetro real. Obtener  2 x + αy − 5 z = − 4  razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La solución del sistema cuando α = 0 . b) El valor del parámetro α para el que el sistema es incompatible. c) Los valores del parámetro α para los que el sistema es compatible y determinado y obtener la solución del sistema en función del parámetro α .(3 puntos) (3 puntos) (2 puntos) (2 puntos)Problema A.2. Se dan los puntos A = (0, 0, 1), B = (1, 0, –1), C = (0, 1, –2) y D = (1, 2, 0). Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La ecuación del plano π que contiene a los puntos A, B y C. b) La justificación de que los cuatro puntos A, B, C y D, no son coplanarios. c) La distancia del punto D al plano π , y el volumen del tetraedro cuyos vértices son A, B, C y D.(3 puntos) (2 puntos) (2 puntos) (3 puntos)Problema A.3. Se da la función f definida por f ( x) = x 2 + x , donde x es un número real cualquiera y x representa al valor absoluto de x. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) El punto o puntos donde la gráfica de la función f corta a los ejes de coordenadas. (2 puntos) b) La justificación de que la curva y = f (x) es simétrica respecto al eje de ordenadas. (1 puntos) c) Los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f, (2 puntos) y el extremo relativo de la función f, justificando si es máximo o mínimo relativo. (1 puntos) d) La representación gráfica de dicha curva y = f (x) . (1 puntos) e) Las integrales definidas∫0−1f ( x)dx y∫20f ( x)dx .3(1,5 + 1,5 puntos)OPCIÓN B − 1 1   2 e I =  0 0 − 1  Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: 2 a) El determinante de las matrices A ⋅ (2(B ) ) 1  Problema B.1. Se dan las matrices A =  1 0 1 2 1− 1 0   1 , B =  2 1 1 y A ⋅ (2(B ) ) ⋅ (3 A) . b) Las matrices A −1 2(−1)y (B ⋅ A) ⋅ B . c) La solución de la ecuación matricial A ⋅ X + B ⋅ X = 3I . −1−11 1 00 1 00  0 . 1  (1,5 puntos) (1,5 puntos) (2 puntos) (2 puntos) (3 puntos)Problema B.2. Se dan los planos π : x + y + z = 1 y σ : ax + by + z = 0 , donde a y b son dos parámetros reales. Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores de a y b para los que el plano σ pasa por el punto (1, 2, 3) y, además, dicho plano σ es perpendicular al plano π . (3 puntos) b) Los valores de a y b para los cuales sucede que el plano σ pasa por el punto (0, 1, 1) y la distancia del punto (1, 0, 1) al plano σ es 1. (3 puntos) c) Los valores de a y b para los que la intersección de los planos π y σ es la recta r para la (3 puntos) que el vector (3, 2, − 5) es un vector director de dicha recta r, y obtener las coordenadas de un punto cualquiera de la recta r. (1 punto)Problema B.3. La diferencia de potencial x entre dos puntos de un circuito eléctrico provoca el paso de una corriente eléctrica de intensidad y, que está relacionada con la diferencia de potencial x por la ecuación y = − x 2 − x + 6 , siendo 0 ≤ x ≤ 2 . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La gráfica de la función f ( x) = − x 2 − x + 6 (3 puntos) y deducir, gráfica o analíticamente, el valor de la intensidad y cuando la diferencia de potencial x es 0 y el valor de la diferencia de potencial x al que corresponde una intensidad y igual a 0, siendo 0 ≤ x ≤ 2 . (1 punto) b) El valor de la diferencia de potencial x para el que es máximo el producto y ⋅ x de la intensidad y por la diferencia de potencial x, cuando 0 ≤ x ≤ 2 , (2 puntos) y obtener el valor máximo de dicho producto y ⋅ x , cuando 0 ≤ x ≤ 2 . (1 punto) c) El área de la superficie situada en el primer cuadrante limitada por la curva y = f (x) , el eje de abscisas y el eje de ordenadas. (3 puntos)4Junio 16 − a x  Problema A.1. Se da el sistema de ecuaciones 2 x + a y + 2 x + OPCIÓN A z z z= a = 1 , donde a es un parámetro real. = 2Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Los valores del parámetro a para los cuales el sistema es incompatible. b) Todas las soluciones del sistema cuando éste sea compatible indeterminado. c) La solución del sistema cuando a = −1.x Problema A.2. Se dan las rectas r :  3 x−2y+z+ 3 = 0+y−z+ 1 = 0yx  s : y z (4 puntos) (3 puntos) (3 puntos)= 1 = 2α . = α −2Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La recta paralela a r que pasa por el punto (0,1, 0) . b) El plano π que contiene a la recta r y es paralelo a s . c) La distancia entre las rectas r y s .(3 puntos) (3 puntos) (4 puntos)1 . x − 5x + 6 Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) Dominio y asíntotas de la función f. b) Intervalos de crecimiento y de decrecimiento de la función f. c) La integral ∫ f ( x) dx .(2 puntos) (3 puntos) (3 puntos)Problema A.3. Se da la función f definida por f ( x) =2d) El valor de a > 4 para el que el área de la superficie limitada por la curva y = f (x) y las rectas y = 0, x = 4 y x = a es ln (3 / 2) .3(2 puntos)OPCIÓN B  5 0 0    Problema B.1. Se da la matriz A =  0 1 − 2  .    0 2 1  Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La comprobación de que A−1 = 5−1 At , siendo At la matriz traspuesta de A b) Los valores del parámetro real λ para los cuales A − λ I no es invertible, siendo la matriz identidad de orden 3. c) El determinante de una matriz cuadrada cuyo determinante es mayor que 0 y verifica la ecuación B −1 = B t .(4 puntos) (3 puntos) (3 puntos)Problema B.2. Se da el plano π : 6 x + 3 y + 2 z − 12 = 0 y los puntos A(1, 0, 0), B (0, 2, 0) y C (0, 0, 3) . Obtener razonadamente, escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado: a) La e
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